Der französische Mathematiker
R. Thom hat in seinem berühmten Vortrag anläßlich
des 2nd International Congress on Mathematical Education in
Exeter 1972 deutlich gemacht, daß jede Konzeption von
Mathematikunterricht unvermeidlicherweise auf einem
bestimmten Bild von Mathematik beruht (Thom 1973:
204). Mathematikdidaktik kann folglich nur in engster
Beziehung zur Wissenschaft ,Mathematik" betrieben
werden. Dabei genügt es aber nicht, sich an dem sozusagen
,,offiziellen" Mathematikbild zu orientieren, das in
Vorlesungen, Vorträgen, mathematischen Zeitschriften und
Lehrbüchern vermittelt wird. Notwendig ist vielmehr eine
grundsätzliche und umfassende Auseinandersetzung mit der
Mathematik als einem Kulturphänomen, in die auch
wissenschaftsgeschichtliche, wissenssoziologische,
bildungsphilosophische und psychologische Aspekte einbezogen
werden müssen. Nur ein derartig erweiterter Blickwinkel
erlaubt es, das unter dem ,,offiziellen" Bild liegende
,,eigentliche" Bild der Mathematik freizulegen und für
die Mathematikdidaktik nutzbar zu machen.
Dieser erweiterte Blickwinkel
ist in der Lehrerbildung nicht nur nötig, um im Rahmen der
didaktischen Ausbildung ein angemessenes Metawissen von
Mathematiklehrern über ihr Fach entwickeln zu können,
sonder auch, um ein produktives Verhältnis von Lehrern zur
Schul- und Elementarmathematik aufzubauen. Im Zusammenhang
mit Untersuchungen zur Professionalisierung des Lehrerberufs
ist im vergangenen Jahrzehnt überzeugend herausgearbeitet
worden, daß die Schulmathematik nicht einfach ein
Abfallprodukt der Universitätsmathematik ist, sondern wegen
vielfältiger, nicht auf die blanke mathematische Form
reduzierbarer Aspekte einen relativ eigenständigen Charakter
besitzt (Otte/Keitel 1979, Steinbring 1986, Dörfler/
MeLone 1986). Was die Lehrerausbildung anbelangt, ist
diese neue Sichtweise der Schulmathematik hauptsächlich für
die mathematikdidaktischen Studien in der ersten
Ausbildungsphase, für die schulpraktische Ausbildung der
zweiten Phase und für die Lehrerfortbildung diskutiert
worden (Seeger/Steinbring 1986). U. E. müssen aber
auch Konsequenzen für die mathematische Ausbildung der
ersten Phase gezogen werden, und zwar derart, daß spezifisch
elementarmathematische Studienanteile ausgewiesen werden, in
denen Lehrerstudenten die Mathematik in einer für den
Bildungsauftrag des Mathematikunterrichts und für die
Psychologie des mathematischen Lernens relevanten Weise
erfahren können, d. h. inhaltlich-anschaulich, prozeßhaft
und sinnstiftend. Unsere Auffassungen hierzu haben sich bei
unseren mehr als zehnjährigen Bemühungen um eine
inhaltliche Studienreform allmählich entwickelt und für den
Bereich der Elementargeometrie in Wittmann 1987
erstmals in größerem Umfang eine konkrete Form angenommen.
Im vorliegenden Beitrag
möchten wir einen zentralen Aspekt einer so verstandenen
Elementarmathematik herausarbeiten, nämlich das Konzept
eines inhaltlich-anschaulichen Beweises. Das Thema
,,Beweisen" ist in der Mathematikdidaktik während der
siebziger und achtziger Jahre intensiv bearbeitet worden
(vgl. hierzu die sorgfältig zusammengestellte Bibliographie
in Stein 1981 sowie Winter 1983a und Stein 1985).
Einen neuen Akzent hat hier das Buch ,,Rigorous Proof in
Mathematics Education" von Gila Hanna (1983)
gesetzt, in dem erstmalig in größerem Zusammenhang
didaktische Folgerungen aus der wissenschaftsgeschichtlichen
und philosophischen Kritik an der formalistischen Grundlegung
der Mathematik gezogen worden sind, die 1963 mit Lakatos"
,,Proofs and Refutations" eingesetzt und in den
siebziger und achtziger Jahren bedeutend an Boden gewonnen
hat. Wir möchten im folgenden in Anknüpfung an diese
Formalismuskritik zunächst an einigen Fallstudien zeigen,
wie weit ein formalistisches Beweisverständnis heute noch
unter Lehrern und Studenten verbreitet ist und wie zögernd
inhaltlich-anschauliche Beweise angenommen werden. Im zweiten
Abschnitt unseres Beitrags möchten wir zu einer weiteren
Entmystifizierung des Formalismus beitragen, indem wir
Selbstzeugnisse großer Mathematiker zitieren, aus denen
hervorgeht, welche hohe Bedeutung inhaltlich-anschauliche und
soziale Aspekte nicht nur für das Finden von Beweisen,
sondern auch für die Bewertung ihrer Stichhaltigkeit haben.
Im letzten Abschnitt wollen wir daraus Folgerungen für die
Entwicklung einer Elementarmathematik auf
inhaltlich-anschaulicher Grundlage ziehen.
1. Beweise und
,,Beweise"
In der formalistischen Sicht
der Mathematik, wie sie sich in der ersten Hälfte des 20.
Jahrhunderts herausgebildet hat, ist die Mathematik geradezu
definiert als die Wissenschaft der strengen Beweise, d.h. der
rein logischen Ableitung von Begriffen aus Grundbegriffen und
von Sätzen aus Axiomen. So schreibt z. B. Pickert (1957: 49):
,,Glücklicherweise hat nun
die Grundlagenforschung der Mathematik - und zwar eigentlich
erst in diesem Jahrhundert - einen Begriff des mathematischen
Beweises entwickelt, der von jeder Anschauung frei ist. Von
diesem Begriff, den ich an einigen einfachen Beispielen
erläutere, gehe ich aus und versuche, an weiteren Beispielen
zu zeigen, welche Hilfsmittel zur besseren Beherrschung
mathematischer Beweise zur Verfügung stehen, also das
Mitteilen und Wiederfinden, darüber hinaus auch das
Auffinden der Beweise erleichtern. Diese Hilfsmittel
insgesamt möchte ich - in diesem Zusammenhang - als
Anschauung bezeichnen. Allerdings habe ich damit von
vornherein der Anschauung ihren Platz zugewiesen: Wir lassen
uns wohl von ihr leiten, dürfen uns aber nicht auf sie
verlassen; entscheidend für die Gültigkeit eines Beweises
ist lediglich das, was nach Beseitigen aller anschaulichen
Hilfsmittel übrig bleibt. Ich glaube, diesen Standpunkt aus
den folgenden Gründen einnehmen zu dürfen: Einmal sehe ich
nicht, wie man auf andere Weise - also unter wesentlicher
Benutzung der Anschauung - die Gültigkeit von Beweisen
allgemeinverbindlich entscheiden könnte; zum anderen scheint
mir der hier vorgetragene Standpunkt die heute herrschende
Meinung unter den Mathematikern wiederzugeben."
Noch zugespitzter drückt sich
MacLane (1981: 465) aus:
,,Der Gebrauch deduktiver und
axiomatischer Methoden rückt die Aufmerksamkeit auf eine
außergewöhnliche Leistung von fundamentaler Bedeutung: die
Formulierung eines exakten Begriffs von absoluter Strenge.
Ein solcher Begriff beruht auf einer expliziten Formulierung
der Regeln der Logik und ihrer konsequenten und peinlich
genauen Anwendung bei der Ableitung streng formulierter
Sätze aus vorgegebenen Axiomen. Darüber hinaus kann jede
Ableitung für sich überprüft und verstanden werden, ohne
daß man auf Beispiele oder reale Bedeutungen der Axiome
zurückgreifen muß.... Dieser formale Charakter der
Mathematik ist geeignet, sie von allen anderen Wissenschaften
zu unterscheiden. Sobald die Axiome und die Regeln formuliert
sind, wird alles andere darauf aufgebaut, ohne Bezug zur
Realität, zur Intuition oder zu Experimenten. ... Ein
absolut strenger Beweis wird selten explizit ausgeführt. Die
meisten mündlich oder schriftlich gegebenen mathematischen
Beweise sind einfach Skizzen, die genügend Details liefern,
um einen absolut strengen Beweis zu konstruieren. Solche
Skizzen dienen dazu, die Überzeugung zu wecken, daß das
Ergebnis richtig und der Ausbau zu einem absolut strengen
Beweis möglich ist. Wegen der Überzeugung, die von
Beweisskizzen herrührt, glauben viele Mathematiker, daß die
Mathematik den Begriff der absoluten Strenge nicht benötigt
und daß wirkliches Verständnis durch Strenge nicht erreicht
wird. Ich setze dagegen, daß der Begriff der absoluten
Strenge uneingeschränkt steht." Während sich MacLane
ähnlich wie Pickert veranlaßt sieht, intuitiven
Aspekten eine bestimmte Bedeutung für die praktische Arbeit
und für die Bewertung von Beweisen beizumessen, vertritt der
Logiker Rosser (1953: 8) einen kompromißlosen
Standpunkt:
,,Somit kann ein Mensch mit
elementaren Rechenfertigkeiten die Beweise der schwierigsten
mathematischen Sätze nachprüfen, vorausgesetzt, daß die
Beweise mit den Mitteln der symbolischen Logik dargestellt
sind. Der Grund liegt darin, daß in der symbolischen Logik
Ableitungen nur von der Form der Aussagen und überhaupt
nicht von ihrer Bedeutung abhängen. Das heißt nicht nur,
daß es nun leichter wird, den Beweis eines schwierigen
Satzes zu entdecken. Dafür ist das gleiche hohe Maß
mathematischer Begabung nötig wie zuvor. Wenn aber der
Beweis erst einmal entdeckt und in der Sprache der
symbolischen Logik formuliert ist, kann er von jedem Dummkopf
überprüft werden."
Welche Rolle der Formalismus
in Verbindung und in Konkurrenz mit anderen philosophischen
Positionen gespielt hat und wie er sich nach außen zur
,,offiziellen" Philosophie der Mathematik entwickelt
hat, ist in Davis/Hersh (1983: Kap. 7) sehr schön
dargestellt. Diese beiden Autoren beschreiben auch, wie in
den letzten Jahren, insbesondere unter dem Einfluß von Lakatos
grundsätzlich andere Auffassungen an Boden gewonnen
haben, in denen die Möglichkeit für absolut strenge und
zeitlos gültige Beweise prinzipiell bestritten und Beweisen
als sozialer Prozeß unter den Mathematikern verstanden wird:
,,Ein Beweis wird nur dadurch
zu einem Beweis, daß er in einem sozialen Akt als solcher
akzeptiert wird. Das gilt für die Mathematik genauso wie
für die Physik, die Linguistik oder die Biologie. Die
Entwicklung allgemein akzeptierter Kriterien zur Anerkennung
einer Argumentationskette als Beweis ist ein Thema, das in
der Wissenschaftsgeschichte so gut wie nicht behandelt worden
ist" (Manin 1977: 48).
Wenn man noch einen Schritt
weiter geht, wird man zur Möglichkeit unterschiedlicher
Beurteilungskriterien für Beweise innerhalb verschiedener
sozialer Kontexte geführt. Was für eine soziale Gruppe ein
akzeptabler Beweis ist, braucht es für eine andere Gruppe
nicht unbedingt auch zu sein. Dabei ist nicht nur an ,,levels
of proofness" (Manin 1977: 49) in mathematisch
unterschiedlich weit entwickelten Gruppen zu denken, sondern
man muß auch mit qualitativ anderen Bewertungsmaßstäben
rechnen, wie z. B. Blechman/Myschkis/Panovko (1984)
für die angewandte Mathematik gezeigt haben.
Wir möchten nun an vier
Fallbeispielen aus dem Schulunterricht bzw. der
Lehrerausbildung zeigen, wie hinderlich eine formalistische
Beweisauffassung für die Entwicklung eines für den
jeweiligen sozialen Kontext angemessenen
Beweisverständnisses sein kann. Der Schwerpunkt unserer
Erfahrung liegt im Bereich der Primarstufe und der
Sekundarstufe 1. Von unseren Kontakten mit SIT-Studenten bei
elementarmathematischen und fachdidaktischen Veranstaltungen
wissen wir aber, daß der Formalismus bei dieser Gruppe, wie
zu erwarten, noch entschiedenere Parteigänger findet als bei
Studenten der anderen beiden Stufen.
Beispiel 1: Chinesischer
Restsatz
In einer
Zahlentheorie-Vorlesung für Primarstufenstudenten wurde der
Chinesische Restsatz für den Fall zweier Moduln behandelt.
Einige Studenten fühlten sich überfordert und protestierten
gegen die angebliche Sinnlosigkeit des Themas im Hinblick auf
die Grundschule. Um dem Protest den Boden zu entziehen, wurde
den Studenten erklärt, daß man im 3. Schuljahr auf dem
Hintergrund des Restsatzes die Division mit Rest üben könne
und daß einzelne Schüler durchaus in der Lage seien,
Beispiele für den Restsatz strukturell zu erfassen. Zur
empirischen Untermauerung dieser didaktischen Position wurde
einige Wochen später Schülern eines 3. Schuljahres folgende
Aufgabe gestellt:
,,Finde Zahlen, die den Rest 1
ergeben, wenn man sie durch 2 teilt, und den Rest 2, wenn man
sie durch 3 teilt."
Selbstverständlich wurde die
Aufgabe nicht in dieser kompakten Form vorgegeben, sondern an
kleinen Zahlen im Klassengespräch erarbeitet. Insbesondere
wurde die Zahl 5 als kleinste Zahl mit den geforderten
Eigenschaften nachgewiesen (5 = 2 x 2 + 1, 5 =
1 x 3 + 2). Anschließend begannen die Schüler in
Einzelarbeit, nach weiteren passenden Zahlen zu suchen.
Schüler, die eine Reihe von Zahlen gefunden hatten, wurden
angeregt, alle Lösungszahlen aufzuzählen.
| Die Variationsbreite
der Leistungen war beträchtlich. Einige Schüler
hatten noch Mühe mit dem Rechnen, andere kümmerten
sich nur um den Rest 2 modulo 3. Die beste Leistung
des Schülers Henning, nach Aussage der
Klassenlehrerin des ,,Mathematikers" der Klasse,
ist im Faksimile wiedergegeben. |
 |
Man zerlegt in der Trapezzahl
Tn die unterste Zeile mit n Punkten von rechts her
in Dreierbündel und trennt darüber durch vertikale Striche
,,Dreiersäulen" ab. Jede Dreiersäule läßt sich
offensichtlich vollständig in Dreierbündel zerlegen. Ist
nun n selbst ein Vielfaches von 3 (Fall 1), so zerfällt Tn
vollständig in Dreierbündel und ist also auch ein
Vielfaches von 3. Besitzt aber n den Rest 1 bei der Division
durch 3 (Fall 2), dann bleibt bei der Abtrennung von
Dreiersäulen links eine Einersäule mit n Punkten übrig,
und man sieht sofort, daß Tn ebenfalls
den Dreierrest 1 hat. Analog sieht man, daß Tn den
Dreierrest 2 hat, wenn n bei Division durch 3 den Rest 2 hat
(Fall 3).
Im Anschluß an diesen Beweis,
der ohne schriftliche Fixierung an drei schematisch
dargestellten typischen Punktmustern vorgeführt wurde,
meldeten einige Studenten Zweifel an, ob dieser ikonische
Beweis wirklich ein Beweis sei. Es kam zu einer längeren
Diskussion, in die sich immer mehr Studenten einschalteten.
Die Meinung der Gruppe tendierte sehr schnell mit
Entschiedenheit dahin, daß es sich dabei lediglich um die
bildliche Veranschaulichung von Spezialfällen handele, der
keine Beweiskraft zukommen. Der Dozent schrieb daraufhin
folgenden ,,symbolischen Beweis" an:
Fall 1: Sei n = 3k. Dann gilt
Tn = (3n2 C n)/2 = n(3n C 1)/2 = 3k(9k
C 1)/2, und da k oder 9k C 1 gerade ist, ist; (wie n) durch 3
teilbar.
Fall 2: Sei n = 3k + 1. Dann
gilt Tn = (3(9k2 + 6k + 1) C (3k +
1))/2 = (27k2 + 15k + 2)/2 = (27k2 +
15k)/2 + 1 = 3k(9k + 5)/2 + 1, d.h. Tn hat (wie n)
den Dreierrest 1.
Fall 3: Sein n = 3k + 2. Dann
gilt Tn = (3(9k2 + 12k + 4)C (3k +
2))/2 = (27k2 + 33k + 10)/2 = 3(9k2 +
11k + 2)/2 + 2, d.h. Tn hat (wie n) den Dreierrest 2.
Ausgehend von dieser
Gegenüberstellung, entwickelte sich eine angeregte
Diskussion über die beiden Beweise, in welcher der Dozent
den ,,ikonischen" Beweis als stichhaltigen Beweis
verteidigte.
Als Übung erhielten die
Studenten die Aufgabe, beide Beweise bzw. ,,Beweise" zu
vergleichen und zu bewerten. Die Auswertung der Antworten
zeigte insgesamt deutlich, wie stark viele Studenten von
ihrer Schulzeit her in Richtung symbolischer Beweise
festgelegt sind und wie schwer es ihnen fällt, sich auf
ikonische Beweise einzustellen. Zur Illustration einige
Auszüge aus den Antworten.
,,Der ikonische Beweis ist
für mich anschaulicher und macht mir die Problemstellung
erst richtig klar. Die Schlüsse, die man aus den Zeichnungen
ziehen kann, leuchten mir ein und reichen mir als Beweis
völlig aus. Der ikonische Beweis ist mir leider aus der
Schule her weniger vertraut. ... Den symbolischen Beweis
kenne ich aus der Schule besser."
,,Für mich ist der ikonische
Beweis leichter und schneller zu durchschauen als der
symbolische Beweis. Das liegt daran, daß er viel
anschaulicher ist als der symbolische. Den symbolischen
Beweis versuche ich nachzurechnen und nachzuvollziehen. Die
Rechnung steht dann aber für sich, ohne daß ich direkt
etwas damit verbinde."
,,Der symbolische Beweis hat
den Vorzug, daß er mathematischer ist." ,,Den
ikonischen Beweis finde ich am anschaulichsten. Er zeigt
deutlicher, wenn n durch 3 teilbar ist, so auch Tn
und umgekehrt. Zwar ist dies kein Beweis, bei dem man für n
beliebig große Zahlen einsetzen kann und anhand dieser den
Beweis durchführen kann, da der Aufwand der Darstellung zu
groß wäre; jedoch läßt es sich für kleinere Zahlen durch
Zeichnen von Dreiersäulen schön erklären."
,,Der ikonische Beweis ist
sehr anschaulich. Man versteht den Zusammenhang, aus dem sich
die Behauptung ergibt. Ich kann mir auch nicht vorstellen,
daß es ein Gegenbeispiel geben könnte, weil es unerheblich
ist, wie viele Dreiersäulen man bilden kann. Meiner Meinung
nach ist es aber kein Beweis, sondern eine Begründung, die
aber für alle n gilt. In der Schule habe ich gelernt, daß
nur ein symbolischer Beweis ein Beweis ist. Deshalb vertraue
ich solchen Beweisen mehr. Da er sich aber auf
,,Herumrechnen" beschränkt, verliert man leicht den
Blick für das, was man eigentlich beweisen will. Die
Gegenüberstellung der beiden Beweise halte ich für sehr
sinnvoll." ,,Der ikonische Beweis ist leichter zu
verstehen und anschaulicher als der symbolische. In der
Schule gab es hauptsächlich symbolische Beweise. Ikonische
Beweise waren allenfalls Hilfsmittel, um auf die symbolischen
Beweise zu kommen. Dieses Gefühl hat sich bis heute in mir
gehalten." ,,Der symbolische Beweis wird von mir
bevorzugt, da ich in der Schule in erster Linie mit
symbolischen Beweisen konfrontiert wurde. Durch diese Beweise
wird eine Allgemeingültigkeit erzielt. Der ikonische Beweis
ist anschaulicher, was sicherlich einen Vorteil in der
Grundschule mit sich bringt. Ich für mich sehe in ihm mehr
eine Beispielsfunktion" eine Verdeutlichung des
symbolischen Beweises."
,,Der symbolische Beweis ist
mathematischer. Bei diesem Beweis muß man mehr mitdenken und
hinterfragen, da einige Formeln mit hineinspielen, die man
erst einmal kennen und auf die man kommen muß. Bei dem
ikonischen Beweis kann man Schritt für Schritt verfolgen,
und jeder Schritt ist auf Anhieb einleuchtend. Allerdings
hätte ich in einer Klausur Bedenken, ob ein solcher
ikonischer Beweis als Beweis anerkannt würde."
,,Persönlich gefällt mir der ikonische Beweis besser, da er
anschaulicher ist. Man sieht sofort, worum es geht, während
man bei dem symbolischen Beweis abstrakter denken muß. Man
weiß die Formel und entwickelt durch logisches Denken (?)
den Beweis, hat aber keinen direkten Bezug zu den Zahlen.
Den symbolischen Beweis sehe ich mehr als Beweis an, da ich
in der Schule nur mit solchen Beweisen konfrontiert wurde und
weil er mathematischer ist."
,,Der symbolische Beweis ist
mir aus der Schule bekannter. Daher kann ich persönlich
besser mit ihm umgehen."
,,Ich bevorzuge den ikonischen
Beweis aufgrund seiner Anschaulichkeit. Der symbolische
Beweis ist mir zu abstrakt. Auf den ikonischen Beweis wäre
ich eventuell selbst gekommen. Trotzdem versucht man immer,
zu einem symbolischen Beweis zu kommen. Vermutlich aufgrund
des Mathematikunterrichts."
,,Durch den
Mathematikunterricht an der Schule und der Uni geprägt,
würde ich eher den symbolischen Beweis vorziehen. Allerdings
ist der ikonische Beweis viel einleuchtender, weil weniger
abstrakt und daher viel eher nachvollziehbar. Bis jetzt war
mir die ikonische Beweisführung so gut wie unbekannt."
,Normalerweise halte ich
symbolische Beweise für glaubwürdiger, da sie mit
allgemeingültigen ,Zahlen" (Platzhaltern) geführt
werden, d.h. sie treffen in jedem Fall auf jede Zahl zu. Bei
diesem Beweis finde ich auch die ikonische Art glaubwürdig.
Sie ist anschaulicher und die Beweisführung geht hieraus
genau und deutlich hervor."
,Der ikonische Beweis ist mir
auch mathematisch genug C ich mißtraue ihm nicht!! Unter
anderem denke ich, daß ich Grundschulkindern auch eher über
die Anschauung Dinge deutlich machen und begründen kann. Den
Sinn von symbolischen Beweisen, insbesondere, wenn sie noch ,
,mathematischer" werden, sehe ich für mich und für die
Zielsetzung meines Studiums der Didaktik der Mathematik nicht
unbedingt. Der Praxisbezug fehlt mir!"
Was sich hier in einzelnen
Äußerungen zeigt, wird durch unsere Erfahrungen in der
Lehrerausbildung durchgehend bestätigt: Die übergroße
Mehrheit von Lehramtsstudenten aller Stufen bringt von der
Schule her eine ausgeprägte formalistische Beweisauffassung
mit (vgl. hierzu auch Aner u. a. 1979). Es ist klar,
daß sich hierin nur das ,,offizielle" Mathematikbild
wiederspiegelt, das in der Lehrerausbildung vorgeherrscht hat
und auch heute noch vorherrscht. Branford (1913: 328)
hat dieses Problem bereits deutlich erkannt:
,,Ich glaube, es ist eine
Tatsache, daß die große Mehrheit der Lehrer fest überzeugt
ist, daß sich die Mathematik von allen anderen
Wissenschaften nicht so sehr durch das Maß an Strenge
unterscheide, als vielmehr dadurch, daß der mathematische
Beweis absolut streng, dagegen ein anderer Beweis nur
angenähert streng sei."
Branford fährt fort:
,,Das Unheil, welches dieser
Glaube auf allen Stufen des mathematischen Unterrichts
angerichtet hat, ist, glaube ich, ganz unberechenbar."
Die negativen Folgen eines formalistischen
Beweisverständnisses können in der Praxis des Unterrichts
(und der Lehrerbildung) ganz unterschiedlich ausgeprägt
sein: Lehrer, die pädagogisch oder pragmatisch denken, und
Lehrer, die der höheren Mathematik gegenüber negativ
eingestellt sind, verzichten auf eine planmäßige
Einführung in das Beweisen, weil sie ,,mathematische"
Beweise als für ihre Schüler zu schwer ansehen. Sie bieten
stattdessen Veranschaulichungen,
Plausibilitätsbetrachtungen, empirische Verifikationen und
an Beispielen erläuterte Regeln, die bestimmte
Aufgabenfelder erschließen. Lenné (1969: 51) hat
diese Position treffend als ,,Aufgabendidaktik"
bezeichnet. Demgegenüber versuchen Lehrer, die auf
,,mathematische Strenge" bedacht sind, im Unterricht
formale Definitionen und Beweise zu Geltung zu bringen, auch
wenn sie in der Praxis vielfach nicht über formale
Sprechweisen und flache Abstraktionen hinauskommen.
Systematische Versuche in dieser Richtung hat es vor allem in
der Zeit der ,,Neuen Mathematik" gegeben. Da die formale
Universitätsmathematik hier als direktes Vorbild gedient
hat, ist dieser Ansatz zu Recht als ,,Abbilddidaktik" (Andelfinger/
Voigt 1986: 3) bezeichnet worden.
Im Gegensatz zur Aufgaben- und
Abbilddidaktik ist in der genetisch orientierten
Mathematikdidaktik das Konzept des inhaltlich-anschaulichen
Beweises aufgegriffen und entwickelt worden. Branford"
einer der Hauptvertreter dieser Richtung, unterscheidet
neben experimentellen ,,Beweisen (typisch für die
Aufgabendidaktik) und wissenschaftlichen Beweisen (typisch
für die systematisch-deduktiv durchorganisierte
Universitätsmathematik und die Abbilddidaktik) ein tertium,
nämlich ,,intuitiv-anschauliche" Beweise (Branford 1913:
100ff, 239ff). Über letzteren Typ, der ihm für die
Entwicklung mathematischen Verständnisses unentbehrlich ist,
führt er folgendes aus:
,,Diese Beweisstufe stellt
allgemeine und streng gültige Wahrheiten auf, beruft sich
dabei aber, wenn es nötig wird, auf Postulate der sinnlichen
Erfahrung. Sie stellt die Wahrheit auf eine unabhängige
eigene Basis durch unmittelbare Berufung auf erste
Prinzipien. Sie stellt die Wahrheit nicht dar als bloßes
Glied in einer systematischen Kette von Argumenten, wo die
wirksame Strenge des Zusammenhangs abgeschwächt wird durch
die Zahl der vorher aufgestellten Wahrheiten, welche die
Glieder der Kette bilden" (103) ... Dem experimentellen
,,Beweis" ,,stehen nun die anderen Beweisarten
gegenüber, die wissenschaftliche und die durch Intuition,
wobei letztere eine mehr vorläufige und weniger strenge Art
des idealen wissenschaftlichen Beweises ist; in Wirklichkeit
gibt es keine scharfe Grenzlinie zwischen diesen beiden
Beweisarten, sie zeigen nur einen Unterschied in dem Grad
logischer Strenge. Die durch diese beiden Beweisarten
gewonnenen Wahrheiten sind allgemeingültig, soweit wir
urteilen können (die sinnliche Erfahrung müßte uns ja
sonst Ausnahmen zeigen)" (108f).
Branford arbeitet hier
mit völliger Klarheit heraus, daß die Grenzlinie zwischen
,,Beweisen" und Beweisen nicht zwischen
,,experimentellen" und ,,intuitiv-anschaulichen"
Beweisen einerseits und rein logischen Beweisen andererseits
verläuft, sondern zwischen experimentellen ,,Beweisen"
einerseits und den beiden anderen Beweisarten andererseits zu
ziehen ist. Diese Position ist in der Folgezeit immer
stärker untermauert worden, wobei vor allem H.
Freudenthal fundamentale Beiträge zu verdanken sind (Freudenthal
1963, 1973: Kap. 8, 1979). Den entscheidenden Unterschied
zwischen experimentellen ,,Beweisen" und
inhaltlich-anschaulichen Beweisen haben die operativen
Beweise der ,,Prämathematik" (Semadeni 1974, Kirsch
1979, Winter 1983b, Walther 1984) sehr
schön herausgearbeitet: Die experimentellen ,,Beweise"
bestehen in der Verifikation einer endlichen Zahl von
Beispielen, was natürlich keine Allgemeingültigkeit
sichert. Inhaltlich-anschauliche, operative Beweise stützen
sich dagegen auf Konstruktionen und Operationen, von denen
intuitiv erkennbar ist, daß sie sich auf eine ganze Klasse
von Beispielen anwenden lassen und bestimmte Folgerungen nach
sich ziehen. Zum Beispiel ist die Zerlegung einer im
Punktmuster dargestellten Trapezzahl in Dreiersäulen eine
für Trapezzahlen universell anwendbare Operation, die genau
überblickbare Konsequenzen für das Dreierrestverhalten der
Trapezzahl hat. Das Punktmuster fungiert hier gar nicht als
Bild, sondern als Symbol (vgl. Jahnke 1984).
Trotz ihres fortgeschrittenen
Entwicklungsstandes hat sich die genetische Position bisher
in Unterricht und Lehrerbildung nicht in der Breite
durchsetzen können. U. E. liegt der Hauptgrund darin, daß
inhaltlich-anschauliche Begriffsentwicklungen und Beweise vom
Standpunkt des Formalismus aus inhomogen, unsystematisch,
unsauber und nicht stichhaltig erscheinen. Viele Lehrer,
Lehrbuchverfasser und auch Hochschullehrer scheuen vor
Darstellungen zurück, die vom ,,offiziellen" Standpunkt
aus als fachliche Inkompetenz ausgelegt werden könnten. Eine
Änderung dieses Zustandes kann nur in dem Maße erwartet
werden, in dem der Formalismus als offizielle Philosophie der
Mathematik überwunden wird und gleichzeitig in der
Mathematikdidaktik zusammenhängende inhaltlich-anschauliche
Konzeptionen der Elementarmathematik entwickelt werden.
Darauf gehen wir in den folgenden Abschnitten ein.
2 Der Formalismus als
Fiktion: Die Unentbehrlichkeit von Intuition und sozialer
Verständigung bei der Überprüfung von Beweisen
Wie eingangs schon erwähnt,
vollzieht sich gegenwärtig in der Philosophie der Mathematik
ein tiefgreifender Umbruch, der darin begründet ist, daß
sich die arbeitenden Mathematiker selbst des Widerspruchs
zwischen der formalistischen Position und den Erfahrungen bei
ihrer Tätigkeit zunehmend bewußt werden. Insbesondere
gewinnt die Auffassung an Boden, daß das Ideal des ,,absolut
strengen" Beweises nicht aufrechtzuerhalten ist (Davis/Hersh
1983: Kap. 7, Hanna 1983). Wir möchten hierfür
Selbstzeugnisse bekannter Mathematiker zitieren, die für ein
Verständnis des Wesens und der Rolle von Beweisen in der
Mathematik besonders aufschlußreich sind.
,,Ich bin immer der Meinung
gewesen, ein Mathematiker sei in erster Linie ein Beobachter,
jemand, der auf eine ferne Bergkette blickt und seine
Beobachtungen aufschreibt. Seine Aufgabe ist einfach, so
viele Gipfel wie möglich klar zu unterscheiden, während
andere weniger klar sind. Er sieht A scharf, während er von
B nur flüchtige Blicke erhascht. Schließlich macht er eine
Kammlinie aus, die bei A beginnt, folgt ihr und entdeckt
schließlich, daß sie in B gipfelt. Nun ist B in seinem
Blick fixiert, und er kann von da aus weitere Entdeckungen
versuchen. In anderen Fällen kann er vielleicht eine
Kammlinie unterscheiden, die in der Ferne verschwindet, und
er vermutet, daß sie zu einem Gipfel hinter den Wolken oder
unterhalb des Horizontes führt. Aber wenn er einen Gipfel
sieht, glaubt er an dessen Existenz, einfach weil er ihn
sieht. Wenn er will, daß jemand anderes ihn sieht, zeigt er
auf ihn, entweder direkt oder durch die Kette der Gipfel, die
ihn selbst zur Entdeckung geführt hat. Wenn sein Schüler
ihn auch sieht, ist die Forschung, die Begründung, der
Beweis beendet.
Die Analogie ist grob, aber
ich bin sicher, daß sie nicht völlig in die Irre führt.
Wenn wir sie bis zum äußersten treiben, würden wir zu
einer ziemlich paradoxen Schlußfolgerung geführt, nämlich,
daß es streng genommen so etwas wie einen mathematischen
Beweis nicht gibt; daß wir letzten Endes nichts anderes tun
können als zeigen; daß Beweise das sind, was Littlewood und
ich Gas nennen, rhetorische Floskeln, bestimmt dazu,
psychologisch zu wirken. Bilder an der Tafel bei einer
Vorlesung, Kunstgriffe, um die Vorstellung der Schüler
anzuregen. Dies ist freilich nicht die ganze Wahrheit, aber
es steckt ein gutes Stück Wahrheit darin. Der Vergleich gibt
uns eine genuine Annäherung an die Prozesse des Lehrens von
Mathematik und die Prozesse der mathematischen Entdeckung;
nur wer nicht genügend Einblick hat, stellt sich vor,
Mathematiker würden Entdeckungen machen, indem sie die
Kurbel einer Wundermaschine bedienen. ...
Andererseits ist nicht zu
bestreiten, daß die Mathematik voll von Beweisen unleugbarer
Bedeutung und Wichtigkeit ist, deren Zweck nicht im
geringsten darin liegt, Überzeugung zu sichern. Unser
Interesse an diesen Beweisen hängt von ihren formalen und
ästhetischen Eigenschaften ab. ... Hier sind wir nur an der
Beweisstruktur interessiert. In unserer Praxis als
Mathematiker, können wir natürlich nicht so scharf
unterscheiden, und unsere Beweise sind weder das eine noch
das andere, sondern ein mehr oder weniger rationaler
Kompromiß zwischen beiden. Wir können die Struktur nicht
völlig klarlegen, da dies viel zu aufwendig wäre, und wir
können uns nicht damit zufrieden geben, daß ein Hörer nur
die Richtigkeit des Beweises sieht, aber blind gegenüber der
Schönheit seiner Struktur ist" (G. H. Hardy 1929:
18f).
,,Abschließend möchte ich
meine Auffassung wiederholen, daß das, was wir in der
Mathematik einen ,Beweis' nennen, nichts anderes als ein Test
der Produkte unserer Intuition ist. Offenbar besitzen wir
keinen Standard für Beweise, der vom Zeitgeschmack, vom
Gegenstand oder von Personen bzw. wissenschaftlichen Schulen
unabhängig ist C und wir werden ihn wahrscheinlich nie
besitzen. Unter diesen Gegebenheiten sollte man
vernünftigerweise zugeben, daß es in der Mathematik so
etwas wie absolute Wahrheit nicht gibt, wie immer die
Öffentlichkeit darüber denkt" (Wilder 1944:
319). ,,Das eigentliche Problem, dem sich der
Mathematikunterricht gegenübersieht, besteht nicht darin,
mathematisch streng zu sein, sondern darin, den behandelten
mathematischen Objekten eine inhaltliche Bedeutung zu geben.
Dies führt mich zu einer Betrachtung der alten Kriegsrösser
der Reformer (vom kontinentaleuropäischen Schlag): Strenge
und Axiomatik. Man weiß, daß jede Hoffnung, der Mathematik
eine strenge formale Grundlage zu geben, durch den Satz von
Gödel ein für alle Mal zerschlagen wurde. Aber wie es
scheint, beeinträchtigt das die Mathematiker in ihrer
Tätigkeit kaum. Warum? Weil ein Mathematiker in der Praxis
niemals formal denkt. Der Mathematiker gibt jeder Aussage
eine inhaltliche Bedeutung, und diese erlaubt es ihm, die
formale Fixierung dieser Aussage innerhalb irgendeiner
formalisierten Theorie zu vergessen. Die inhaltliche
Bedeutung verleiht der Aussage einen ontologischen Status
unabhängig von jeder Formalisierung. Man kann m. E. offen
und ehrlich behaupten, daß die einzigen formalen Prozesse in
der Mathematik numerische und algebraische Rechnungen sind.
Kann man die Mathematik auf Rechnungen reduzieren? Sicher
nicht, denn sogar in einer Situation, in der es nur um eine
Rechnung geht, müssen die Schritte der Rechnung aus einer
großen Zahl von Möglichkeiten ausgewählt werden. Und die
Wahl wird nur durch die intuitive Interpretation der
eingehenden Größen bestimmt. Somit ist die Betonung der
Axiomatik durch die Reformer nicht nur eine pädagogische
Verirrung (was offenkundig genug ist), sondern auch eine
mathematische.
Meines Erachtens hat man aus
der Hilbertschen Axiomatik nicht die wahre Lektion gelernt,
die folgendermaßen lautet: Man gelangt zur absoluten Strenge
nur durch die völlige Elimination von Bedeutung. ... Aber
wenn man zwischen Strenge und inhaltlicher Bedeutung wählen
muß, wähle ich ohne Zögern letztere. Dies hat man in der
Mathematik immer getan, wo man fast immer in einer
halb-formalistischen Form arbeitet, mit der nicht
formalisierten Umgangssprache als Metasprache. Der ganze
Berufsstand ist zufrieden und verlangt nach keiner
Verbesserung. ... Ein Beweis eines Theorems T ist wie ein
Pfad, der von gewissen allgemein geteilten Aussagen startet
und durch eine Reihe von Schritten zu einem psychologischen
Zustand führt, in dem T offenkundig erscheint. Die Strenge
des Beweises C im üblichen, nicht im formalisierten Sinn C
hängt von der Tatsache ab, daß jedem Leser jeder Schritt
vollkommen klar ist, wenn er die in den vorhergehenden
Stadien aufgebauten inhaltlichen Bedeutungen heranzieht. Wenn
man in der Mathematik einen Beweis zurückweist, geschieht
das meist, weil er unverständlich, nicht weil er falsch ist.
Im allgemeinen rührt das daher, daß der Autor irgendwie von
der Vision seiner Entdeckung geblendet wird und über Gebühr
optimistische Annahmen über die gemeinsame
Verständigungsbasis macht. Ein wenig später werden seine
Kollegen das, was der Autor nur implizit ausgedrückt hat,
explizieren und den Beweis durch Füllen der Lücken
vervollständigen" (Thom 1973: 203f).
,,Wenn ich an einem
Problemfeld interessiert bin, dann versuche ich einfach, es
zu verstehen. Ich denke einfach längere Zeit darüber nach
und versuche, tiefer und tiefer zu bohren. Wenn ich ein
Verständnis erreicht habe, weiß ich, was richtig ist und
was nicht.
Natürlich ist es auch
möglich, daß man sich täuscht und daß man glaubt, es
verstanden zu haben, und hinterher stellt sich heraus, daß
man im Irrtum war. Aber im allgemeinen bekommt man ein
Gefühl dafür, was los ist und welche Beziehungen gelten
sollten, sobald man wirklich fühlt, daß man etwas
verstanden hat, und man durch zahlreiche Beispiele und durch
Quer-bezüge genügend Erfahrung mit diesem bestimmten
Problemfeld hat. Und dann stellt sich die Frage: Wie beweist
man es? Das kann lange dauern. ... Ich schätze die Bedeutung
von Beweisen nicht so hoch ein. Ich glaube, es ist wichtiger,
etwas zu verstehen. ...
Wenn man versucht, Mathematik
mitzuteilen, sollte man m. E. im Idealfall versuchen,
Verstehen zu vermitteln, Das ist im Gespräch ziemlich
leicht. Wenn ich mit Leuten zusammenarbeite, tauschen wir
unsere Ideen auf diesem Verstehensniveau aus C wir verstehen
Problemfelder und wir halten uns an unsere Intuition.
Wenn ich Vorträge halte,
versuche ich immer, die wesentlichen Eigenheiten eines
Problemfeldes mitzuteilen. Aber wenn man einen Artikel oder
ein Buch schreiben muß, wird es viel schwieriger. Ich
schreibe Bücher ungern. In Artikeln gebe ich mir Mühe, die
wesentlichen Ideen in der Einleitung darzulegen. Aber man ist
natürlich verpflichtet, einen Beweis zu geben. Also macht
man es.
Die meisten Bücher sind heute
weithin viel zu formal abgefaßt, sie tun zu viel, was
formale Beweise anbelangt und nicht annähernd genug, was
Motivation und die Herausarbeitung von Ideen anbelangt. ...
Ich halte es für sehr unglücklich, daß die meisten Bücher
in diesem übertrieben abstrakten Stil geschrieben sind und
nicht versuchen, Verständnis zu vermitteln" (Atiyah 1984:
16f).
,,Was den Verlust des Glaubens
an die absolute Sicherheit der Mathematik angeht, scheint mir
das weder besondere überraschend noch besonders wichtig.
Mich verwundert es eher, daß es überhaupt Leute gab, welche
die ,absolute Sicherheit" der Mathematik behauptet
haben. ... Es stimmt mit der Erfahrung in der Mathematik
nicht überein, Mathematik als Quelle oder als Träger
absolut sicherer Erkenntnis entwickeln und auffassen zu
wollen. ... Ein Beweis ist eine Form mathematischen
Diskurses. Seine Funktion besteht darin, Mathematiker als
Praktiker einer allgemein geteilten Mathematik
zusammenzuhalten. ... Ein Beweis erhält in der Mathematik
seinen Status erst, wenn er als Beweis akzeptiert worden ist.
Dieser Anerkennungsprozeß findet unter den praktizierenden
Mathematikern statt. Fermat schrieb, daß es ,das Wesen des
Beweises ist, Überzeugung zu erzwingen'. In dem Maße, in
der die Überzeugungskraft auf Einsicht beruht, werden
(relativ) inhaltlich-anschauliche Beweise weiterhin eine
wichtige Rolle in der Mathematik spielen. Beweise, die
Einsicht in die relevanten Begriffe vermitteln, sind für uns
als Forscher und Lehrer interessanter und wertvoller als
Beweise, die nur die Gültigkeit der Behauptung belegen. Wir
haben Beweise gern, die das Wesentliche herausstellen. Wenn
der einzig verfügbare Beweis eines Resultats künstlich oder
hergeholt erscheint, sind wir irritiert. Wir halten inne und
denken nach. Anstatt uns weiterbewegen zu können, sitzen wir
fest. Ich erwähne diese wohlbekannten Tatsachen nur, um zu
betonen, daß ein Beweis nicht nur ein logisches System von
Beziehun gen zwischen verschiedenen Sätzen, Axiomen und
Definitionen ist, sondern auch eine diskursive Struktur für
die mit Mathematik befaßten Personen. Als solche kann sie
Gegenstand sehr verschiedener Aktivitäten sein" (Long
1986: 616).
Von diesen Erfahrungsberichten
aus erster Hand leiten wir folgendes Bild über die Rolle von
Intuition und sozialer Verständigung bei der Ausarbeitung
und der Überprüfung von Beweisen in der Mathematik ab:
(1) Die Stichhaltigkeit eines
Beweises ergibt sich letzten Endes nicht, zumindest nicht
nur, aus dessen formaler Darstellung innerhalb einer
axiomatisch-deduktiven Systematik, sondern aus der intuitiven
Kohärenz der im Beweis aufgezeigten begrifflichen
Beziehungen und ihrer Übereinstimmung mit den Erfahrungen
der Forscher.
(2) Bei den hochkomplexen
abstrakten Theorien der höheren Mathematik ist um der
begrifflichen Klarheit und Übersicht willen ein
entsprechender Grad von formaler Darstellung unerläßlich.
Ein verständnisvoller Umgang mit dem Formalismus setzt aber
eine Eingewöhnung in die Kommunikationsstrukturen der
beteiligten Forscher sowie ein intuitives Verständnis der
untersuchten Objekte und des konstruktiven Umgangs mit ihnen
voraus. Jede mathematische Theorie bezieht sich auf eine
Klasse von Objekten, die sich in vielfältiger Weise
darstellen lassen und die durch diese Darstellungen für ein
operatives Studium ihrer Eigenschaften und Beziehungen
zugänglich werden. Mathematik ist eine
,,quasi-empirische" Wissenschaft (Lakatos 1987:
29ff, Jahnke 1978).
(3) Beweise dienen in erster
Linie dazu zu verstehen, warum der betreffende Satz gilt. Im
Fluß des Verständnis- und Verständigungsprozesses unter
den Forschern werden Beweise (und Sätze!) ausgearbeitet,
umgearbeitet, umformuliert, verallgemeinert, präzisiert,
verbessert usw. Im Verlauf dieses Prozesses können sich die
Kriterien der Strenge verändern. ,,Absolut strenge"
Beweise gibt es nicht.
3. Das
elementarmathematische Forschungsprogramm der
Mathematikdidaktik
Die veränderte Sichtweise des
Beweisens führt uns für die Mathematikdidaktik zu folgenden
Konsequenzen:
(1) Im sozialen Kontext ,Schule' besteht für das Lehren und
Lernen von Mathematik eine andere Verstehensgrundlage und ein
anderer Kommunikationsrahmen als in der mathematischen
Forschung. Eine sinngemaße Übertragung von
Beweisaktivitäten in die schulischen Rahmenbedingungen
erfordert daher eine Loslösung von formalen, deduktiv
durchorganisierten Darstellungen der für die Schule
relevanten elementarmathematischen Gebiete zugunsten
inhaltlich-anschaulicher Darstellungen. Diese sind
gekennzeichnet durch Einbettung in sinnvolle Kontexte, durch
Entwicklung von Motivationen, durch ein Vorgehen gemäß
heuristischen Strategien, durch die Verwendung
bedeutungshaltiger präformaler Darstellungen und durch
entsprechende inhaltlich-anschauliche Beweise. ,,Rettet die
Phänomene!" muß auch die Parole der Mathematikdidaktik
sein.
(2) Inhaltlich-anschauliche
Beweise sollen in erster Linie dem Verstehen von
Gesetzmäßigkeiten dienen und müssen daher in den
Lernprozeß der Schüler und ihre Verständigung
untereinander eingebettet werden. Lakatos' Buch
,,Beweise und Widerlegungen" (Lakatos 1979)
bietet hierfür ein sehr schönes Vorbild.
(3) Die mathematische
Ausbildung von Lehrerstudenten muß einen je nach Schulstufe
angemessenen Anteil von Elementarmathematik in
inhaltlich-anschaulicher Darstellung enthalten, damit eine
brauchbare Grundlage für den Entwurf und die Umsetzung
didaktisch begründeter schulmathematischer Konzeptionen
geschaffen wird. Zusammenhängende inhaltlich-anschauliche
Darstellungen elementarmathematischer Gebiete bieten den
Studenten ein einschlägiges Berufswissen, das um
Größenordnungen effektiver ist als das aus formalen
Darstellungen abzuleitende ,,Hintergrundwissen".
Innerhalb der Mathematik haben formale Darstellungen der
Elementarmathematik eine große Tradition (vgl. z. B. Lenz
1967, Griffiths/Hilton 1976-1978), die wir
ausdrücklich würdigen. Auch wenn solche Darstellungen
vielfach didaktisch relevante Ausführungen über Mathematik
enthalten, greifen diese Ansätze von unserem Standpunkt aus
dennoch zu kurz. Daneben aber gibt es in der
elementarmathematischen, mathematikhistorischen,
schulmathematischen und didaktischen Literatur zahlreiche
Ansätze für inhaltlich-anschauliche Darstellungen einzelner
Probleme, Problemkreise oder Gebiete (vgl. z. B. Sawyer 1964,
Engel 1973/1976). Diese Ansätze zu vereinheitlichen,
zu systematisieren, insbesondere unter Entwicklung einer
,,Grammatik" zeichnerischer und konkreter Darstellungen,
ist u. E. eine außerordentlich wichtige Forschungsaufgabe
der Mathematikdidaktik, die wir als ihr ,,elementarmathematisches
Forschungsprogramm" bezeichnen möchten. Die
Verfügbarkeit umfassender inhaltlich-anschaulicher
Darstellungen der Arithmetik, der elementaren Algebra,
Geometrie, Analysis und Stochastik würde zu einer stärkeren
Integration der mathematischen, pädagogischen,
psychologischen und praktischen Komponenten der
Mathematikdidaktik beitragen und u. E. eine neue Stufe
mathematikdidaktischer Forschung, Entwicklung und
Lehrerausbildung eröffnen.
Um anzudeuten, daß dieses
Programm weit über die Mathematikdidaktik hinausreicht,
zitieren wir abschließend den Mathematiker Nowoshilow, Mitglied
der sowjetischen Akademie der Wissenschaften: ,,Die in sich
geschlossene sterile Mathematik ist nicht nur ein ,Luxus',
den sich die Zivilisation erlauben kann", wie Dieudonné
gesagt hat (Anm. d. Verf.), ,,sondern auch eine
unvermeidliche Folge der Zivilisation. Von diesem Standpunkt
aus gesehen, ist der Kampf gegen die Verbreitung des
mathematischen Formalismus unter der Weltbevölkerung eine
ökologische Aufgabe" (Nachwort in Blechman/Myschkis/Panovko
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