Volumen der Kugel

  • Die Formel für das Kugelvolumen V = 4/3×p×r3 kann mithilfe des Cavalierischen Prinzips bestimmt werden. Man weist dazu nach, dass der einer Halbkugel umbeschriebene Zylinder nach Ausbohrung eines geeigneten Kegels volumengleich zu dieser ist.
  • Für eine Halbkugel, dem ihr einbeschriebenen Kegel und dem ihr umbeschriebenen Zylinder gilt:

    VKegel : VHalbkugel : VZylinder = 1 : 2 : 3

  • Das Kugelvolumen wird in der Hauptschule nur in der 10. Klasse behandelt. Dabei beschränkt man sich auf einfache Abschätzungen und Umfüll- bzw. Wägeversuche.

 

Aufgabe VK1: "Kegel, Kugel und Zylinder"

Ziel des folgenden Abschnittes ist die Herleitung der Volumenformel für die Kugel.

Jede Halbkugel besitzt einen umbeschriebenen Zylinder, dem wiederum ein Kegel einbeschrieben ist.

Man kann nachweisen, dass nach Ausbohrung des Kegels aus dem Zylinder der Restkörper zur Halbkugel volumengleich ist.

Nach Cavalieri muss dazu stets die Schnittfläche A1 des linken Körpers gleich der Schnittfläche A2 des rechten sein.

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

  • Weisen Sie dies nach, indem Sie
    1. zeigen, dass x = r'
    2. A1 und A2 in Abhängigkeit von r und x berechnen.
  • Bestimmen Sie nun das Volumen des Restkörpers und leiten Sie daraus die Formel

Vkugel = 4/3×p×r3 her.

  • Zeigen Sie, dass gilt VKegel : VHalbkugel : VZylinder = 1 : 2 : 3

 

Aufgabe VK2: "Volumenbestimmung in der Hauptschule"

Das Kugelvolumen wird in der Hauptschule erst in der 10. Klasse hergeleitet. Der bayerische Lehrplan sieht dazu vor:

"Durch anschauliches und plausibles Schließen leiten sie [die Schüler] die Berechnungsformeln bei der Kugel her."

  • Untersuchen Sie entsprechende Schulbücher (Gamma 10; Kurs Mathematik 10). Inwieweit spielt die Ableitungsidee von VK1 eine Rolle?
  • Skizzieren Sie kurz, wie man in Anlehnung an VK1 die Formel mittels eines Umfüllversuches herleiten könnte.

 

Aufgabe VK3: "Volumenabschätzung mittels Formel"

Neben exakten Volumenberechnungen sollten gerade auch in der Hauptschule das Abschätzen von Massen  und Volumina eine bedeutende Rolle spielen. Wie aber kann man etwa aus dem geschätzten Durchmesser d einer Kugel schnell und ohne allzu großen Rechenaufwand auf deren ungefähres Volumen schließen?

  • Schätzen Sie zunächst welchen Bruchteil eine Kugel vom Volumen eines ihr umbeschriebenen Quaders einnimmt.
  • Leiten Sie aus der Volumenformel folgende Regel her:
    "Das Kugelvolumen ist etwa die Hälfte des entsprechenden Quadervolumens".
  • Um wie viel Prozent verschätzt man sich bei dieser Faustregel? Wird das Kugelvolumen dabei unter- oder überschätzt?
  • In einem Märchenfilm spielt eine Prinzessin am Rande eines Brunnens mit einer goldenen Kugel etwa in der Größe eines Handballs. Wie realistisch ist diese Szene? Schätzen Sie dazu die Masse der Kugel!
    (Hinweis: Besorgen Sie sich das spezifische Gewicht von Gold aus einem Lexikon bzw. dem WWW!)