Der Zylinder

Zylinder kommen im Alltag häufig vor. Dieser Abschnitt beschreibt Eigenschaften von Zylindern.

Definition eines Zylinders:

Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper, der von einer Zylinderfläche und zwei parallelen Ebenen begrenzt wird. Unter einer Zylinderfläche wird dabei eine Fläche verstanden, die aus allen Geraden g des Raumes besteht, die mit einer vorgegebenen Kurve k, der Leitkurve der Zylinderfläche, jeweils einen gemeinsamen Punkt besitzen und zu einer vorgegebenen Geraden go, die ebenfalls k schneidet, parallel sind. Diese Geraden werden als die Erzeugenden der Zylinderfläche bezeichnet. (vgl. Beispiele rechts)

(Quelle: Walz, G., (Red.), Lexikon der Mathematik (5), Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg und Berlin, 2001¹, S. 482)

Ein Spezialfall hiervon ist der gerade Kreiszylinder:

Ein Körper heißt gerader Kreiszylinder (kurz: Zylinder), wenn er begrenzt wird von

  • zwei zueinander kongruenten und zueinander parallelen Kreisflächen und
  • einer gekrümmten Fläche, die bei einer Abwicklung in eine Ebene ein Rechteck ergibt.
(Quelle: Rolles, G., Unger, K., (Hrsg.), Mathematik. Basiswissen Schule, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH, Berlin und Mannheim, 2001, S. 276)





Am Zylinder lassen sich folgende Flächen unterscheiden:

Weitere wichtige Bezeichnungen am Zylinder:


Der gerade Kreiszylinder hat u. a. folgende Eigenschaften:


Satz:
Der gerade Kreiszylinder ist achsensymmetrisch und rotationssymmetrisch.

Begründung


Rotationssymmetrie am Zylinder



Schnitte am Zylinder

Satz:
Schneidet eine zur Grundfläche parallele Ebene einen Zylinder, dann entsteht eine Schnittfigur, die zu den Grundflächen kongruent ist.

Begründung


Schnitt Zylinder - Ebene



Oberfläche und Volumen am Zylinder

Die Oberfläche eines Zylinders ist die Summe der Inhalte seiner Begrenzungsflächen (Rechteck + doppelte Grundfläche).

Für den Inhalt M der Mantelfläche ergibt sich:

M = ARechteck = m · 2 π r = 2 π r m = 2 π r h


Für den Inhalt der Grund- und Deckfläche G ergeben sich:

G = r2 π


Somit ergibt sich für den Oberflächeninhalt O des Zylinders:

O = 2 G + M =           
   = 2 r2 π + 2 r π m =
   = 2 r π (r + m)      


Die Oberfläche eines geraden Kreiszylinders lässt sich in die Ebene abwickeln und gibt Auskunft über Anzahl, Größe und Form seiner Begrenzungsflächen.


Volumenbestimmung am geraden Kreiszylinder:

Der Zylinder wird näherungsweise in einen volumengleichen Quader umgewandelt. Dazu wird der Zylinder durch Schnitte längs der Zylinderachse in gleiche Teile zerlegt. Diese Teile können so zusammengesetzt werden, dass sich näherungsweise ein volumengleicher Quader ergibt.

Die Näherung wird um so besser, in je mehr Teile der Zylinder zerlegt wird. Die Breite des Quaders entspricht dem halben Kreisumfang, die Tiefe dem Radius der Grundfläche und die Höhe der Höhe des Zylinders.

Das Volumen des Zylinders kann also aus dem Volumen des Quaders berechnet werden.

VZylinder = π r2 h


Zylindernetz


Zylindervolumen


Aufgabe (Grundlagen rund um den Zylinder)


Ordnen Sie folgende Begriffe den unterschiedlichen Zylinderelementen zu.